加权最小二乘滤波器

该算法最早提出是在论文《Edge-Preserving Decompositions for Multi-Scale Tone and Detail Manipulation》中，该算法是为了解决双边滤波里无法在多尺度上提取细节，并可能出现伪影。WLS的目的是为了使得结果图像u和原始图像p经过平滑后尽量相似，但是在边缘部分尽量保持原状，数学表达为:

Σ_{p} ((u_{p} - g_{p})^{2} + λ (a_{x, p} (g) (\frac{\partial u}{\partial x})_{p}^{2} + a_{y, p} (g) (\frac{\partial u}{\partial y})_{p}^{2}))

$\Sigma_p((u_p-g_p)^2+\lambda(a_{x,p}(g)(\frac{\partial u}{\partial x})^2_p+a_{y,p}(g)(\frac{\partial u}{\partial y})_p^2))$

在这里，下标p代表像素点的空间位置。目标函数第一项 $(u_p-g_p)$ 表示图像u和输出图像g越近越好，第二项是正则项，通过最小化u的偏导，使得输出图像g尽可能的平滑。平滑项权重依赖于输入图像g。这样当输入图像边缘梯度变化较大时，其约束会小一些，从而保留图像的结构化信息。反之，当图像边缘梯度变化很小时，约束可以自然变大一点。 $\lambda$ 是正则化系数，平和两者的权重， $\lambda$ 越大图像也就越平滑。将上式改成矩阵形式，为:

(u - g)^{T} (u - g) + λ (u^{T} D_{x}^{T} A_{x} D_{x} u + u^{T} D_{y}^{T} A_{y} D_{y} u)

$(u-g)^T(u-g)+\lambda (u^TD_x^TA_xD_xu+u^TD_y^TA_yD_yu)$

其中， $A_x$ 和 $A_y$ 是包含平滑权重 $a_x(g)$ ， $a_y(g)$ 的对角矩阵，其是输出图像g梯度的函数， $D_x,D_y$ 是离散差分算子。要使得上式最小，需要有对其进行求导为0，得：

(I + λ L_{g}) u = g

$(I+\lambda L_g)u=g$

其中， $L_g=D_x^TA_xD_x+D_y^TA_yD_y$ ，平滑项系数设置如下:

a_{x, p (g)} = (| \frac{\partial l}{\partial x} (p) |^{α} + ϵ)^{- 1}, a_{y, p (g)} = (| \frac{\partial l}{\partial y} (p) |^{α} + ϵ)^{- 1}

$a_{x,p(g)} = (|\frac{\partial l}{\partial x}(p)|^\alpha+\epsilon)^{-1},a_{y,p(g)} = (|\frac{\partial l}{\partial y}(p)|^\alpha+\epsilon)^{-1}$

其中l是输入图像亮度通道的log值，可以看出当l梯度较大时，$a{x,p(g)} $和$ a{y,p(g)} $会随着变小，反之则较大，这样就可以保留较大的边缘，保留不必要的细节。注意$ L_g$的实质是一个五点的空间拉普拉斯矩阵。

参考：
1.https://blog.csdn.net/VictoriaW/article/details/71171813
2.https://blog.csdn.net/bluecol/article/details/48576253
3.https://blog.csdn.net/piaoxuezhong/article/details/78396498