去雾算法和Retinex对偶性的两篇论文

先看这一篇，这是2017 TIP的一篇论文，这里首先对光照图进行估计，通过寻找RGB三个通道的最大值来实现。一般的Retinex模型表示为:

$L = I \cdot T$

其中T是光照图，又观察到低照图的反图像和雾图差不多，所以可以用去雾算法:

$1 - L = (1-I) \cdot \tilde{T} + a(1-\tilde{T})$

对于图像的光照图估计，可以使用图像RGB三个通道的最大值进行替代，表示为:

$\hat{T} \leftarrow \max_{c \in {R,G,B}} L^c(x)$

从而估计出恢复的图像为:

$I(x) = L(x)/(\max_{c}L^c(x)+\epsilon)$

其中$\epsilon$是一个很小的量，避免出现全0的情况。如果使用上面的去雾公式，使用暗通道先验，那么可以估计T表示为:

$\tilde{T} \leftarrow 1 - \min_{c}\frac{1-L^c(x)}{a} = 1- \frac{1}{a} + \max_{c}\frac{L^c(x)}{a}$

代入上面的去雾公式，可以得到:

$I(x) = \frac{L(x) - 1 + a}{ 1- \frac{1}{a} + \max_{c}\frac{L^c(x)}{a}}+(1-a)$

其中当a=1时，上面的去雾估计结果和Retinex估计结果就是相等的，从而说明了对等性。为了更好的估计光照图T,这里使用下面的公式进行优化:

$\min_{T}||\hat{T}-T||^2_F+\alpha||W \cdot \triangledown T||_1$

其中第一项关注原始的估计光照图$\hat{T}$和refine之后的图像T之间的区域，第二项关注的是平滑性。后面论文还介绍了W的公式和优化算法，这里本人看不懂，不再赘述。

这是2018 CVPR的一篇论文，核心公式推导和上面差不多，论文对于去雾公式的介绍这里不再赘述。首先假设图像是白平衡的，这样A=(1,1,1),那么去雾结果图可以表示为:

$Dehazing(I(x)) = J(x) = \frac{I(x)-1}{t(x)}+1$

对于Reinex模型，其一般只能增强欠曝光的图像，对于过曝光的图像则不行。这里将图像进行反转，从而表示为:

$DehRet:I(x) \rightarrow 1 - Retinex(1-I(x))$

下面说明这个公式也可以用来去雾，因为retinex模型增加了图像I的强度，对于其反图像，1-I,所以有Retinex(1-I)>1-I，也就是1-Retinex(1-I) <= I。对于去雾公式，当A=(1,1,1)时，可得到以下公式:

$1-I(x) = t(x)(1-J(x))$

又因为t(x)是平滑的，所以可以使用Retinex去除t(x)的影响，这里令1-I(x)为$\tilde{I(x)}$，则有:

$Retinex(\tilde{I(x)})=1-J(x)$

也就是:

$J(x) = 1 - Retinex(1-I(x))$

从而论证了基于Retinex的公式也可以用于去雾，那么同样，对于retinxe的增强算法，也可以用去雾算法，表示如下:

$1-Dehazing(1-I) = Retinex(I)$

论文还做了实验验证了自己的想法，其实我感觉挺水的，详情见论文。